阿贝尔簇的泛循环、Lefschetz 表示及广义 Hodge 与 Bloch 猜想

我们证明了 Bloch 猜想对复阿贝尔簇幂上的“泛定义”对应成立。作为一个应用，我们建立了阿贝尔簇幂上（斜）对称循环的消失结果，并讨论了 Voisin 关于 K3 曲面幂上（斜）对称循环的问题在 Kummer 曲面情形下的情形。我们还证明了 Bloch 猜想在如下情形成立。设 $\gamma$ 是两个阿贝尔簇 $A$ 与 $B$ 之间的一个对应，可写为对称除子的乘积的线性组合。假设 $A$ 同源于一个全实型阿贝尔簇与一个阿贝尔曲面之幂的产物。我们证明 $\gamma$ 满足 Bloch 猜想的结论。一个关键要素在于为 $A$ 的上同调中作为 $A$ 的 Lefschetz 群的子表示出现的 Hodge 子结构建立广义 Hodge 猜想的强形式。作为我们方法的副产品，我们利用为阿贝尔曲面幂建立的广义 Hodge 猜想强形式，证明广义 Kummer 簇上的每个有限阶辛自同构在零圈上作用为单位映射。