用 Alexander 多项式表示的广义 Bott-Cattaneo-Rossi 不变量

Bott-Cattaneo-Rossi 不变量 $(Z_k)_{k\in \mathbb N\setminus\{0,1\}}$ 是奇维数 $n$ 下长纽结 $\mathbb R^n\hookrightarrow\mathbb R^{n+2}$ 的一个不变量，其表示为构型空间上积分的组合。在本文中，我们计算此类积分，并证明（广义）$Z_k$ 用 Alexander 多项式或用纽结所围超曲面某些圈的链环数表示的显式公式。我们的公式对同调 $\mathbb R^{n+2}$ 中所有零同调长纽结至少当 $n\equiv 1\mod 4$ 时成立，反之将纽结补的 Reidemeister 挠率用 $(Z_k)_{k\in\mathbb N\setminus\{0,1\}}$ 表示。我们的公式推广到偶维情形，其中 $Z_k$ 将被证明良定义，见后续文章。