n-纽结的 Alexander 多项式的局部变换公式

众所周知：设存在三个一维链环 $K_+$、$K_-$、$K_0$，使得 $K_+$、$K_-$ 与 $K_0$ 在平凡嵌入于 $S^3$ 的一个三维球 $B$ 之外重合，且 $K_+\cap B$、$K_-\cap B$ 与 $K_0\cap B$ 如下图所示。则有 $\Delta_{K_+}-\Delta_{K_+}=(t-1)\cdot\Delta_{K_0}$，其中 $\Delta_{K}$ 为 $K$ 的 Alexander 多项式。我们已知一维纽结与链环的其他不变量有类似公式（如 Jones 多项式等）。自然要问：设存在两个 $n$ 维纽结 $K_+$、$K_-$ 以及一个子流形 $K_0$，使得 $K_+$、$K_-$ 与 $K_0$ 在平凡嵌入于 $S^{n+2}$ 的一个 $n$ 维球 $B$ 之外重合。则在 $K_+\cap B$、$K_-\cap B$ 与 $K_0\cap B$ 中是否存在满足如下性质(*)的关系？(*)若 $K_+$、$K_-$ 与 $K_0$ 满足此关系，则 $K_+$ 的不变量、$K_-$ 的不变量与 $K_0$ 的不变量满足一固定关系。本文证明了存在这样的关系，其中 $K_+$、$K_-$ 与 $K_0$ 满足公式 $\Delta_{K_+}-\Delta_{K_+}=(t-1)\cdot\Delta_{K_0}$，这里 $\Delta_{K}$ 为表示 $K$ 的 Alexander 多项式的一个多项式。我们展示了另一关系，其中 $K_+$、$K_-$ 与 $K_0$ 满足公式 ${\mathrm{Arf}}K_+-{\mathrm{Arf}}K_-=\{|bP_{4k+2}\cap I(K_0)|+1\}mod 2,$，其中 (1) $I()$ 为惯性群，且 $I(K_0)$ 为与 $K_0$ 保向微分同胚的光滑流形的惯性群。(2) 对群 $G$，$|G|$ 表示 $G$ 的阶。局部变换公式即为如上由局部变换相关联的几个纽结的不变量间的关系。