Jarnik 关于联立逼近结果的推广

考虑一个从正实数到正实数的非增函数$\Psi$，当$x$趋于无穷大时其衰减为$o(1/x)$。Jarnik 于 1930 年证明，存在实数$\zeta_{1},...,\zeta_{k}$与$1$在$\mathbb{Q}$上线性无关，使得对于无穷多个正整数$q$，所有$q\zeta_{j}$到最近整数的距离小于$\Psi(q)$，但在非常严格的意义下不会小得多。我们将此结果有效地推广到实数$\zeta$的连续幂次情形。该方法还允许将相应结果推广到包含在特殊分形集（如康托尔集）中的$\zeta$。