反弹膜宇宙学中一般Bianchi IX动力学：同宿混沌与BKL猜想

我们研究嵌入在具有类时额外维度的5维共形平坦空体中的4维膜上的Bianchi IX模型。膜上的爱因斯坦方程简化为一个6维哈密顿动力学系统，带有实现模型中非奇异反弹的附加项。模型的相空间在有限区域内有两个临界点（一个鞍-中心-中心和一个中心-中心-中心），以及两个渐近de Sitter临界点，其中一个作为晚期动力学的吸引子。鞍-中心-中心在相空间中产生稳定和不稳定4维柱面 $R \times S^3$ 的拓扑，其中 $R$ 是鞍方向，$S^3$ 是不稳定周期轨道的中心流形（中心-中心扇区的非线性扩展）。通过适当的正则变换，我们将动力学的自由度分离为一个与模型尺度膨胀/收缩相关的自由度，以及两个与 $S^3$ 相关的旋转自由度。典型的动力学流因此是柱面邻域上的振荡模式。对于稳定和不稳定柱面，关于分隔线朝向反弹的振荡运动导致柱面的同宿横截相交，如两个不同实验数值所示。我们展示同宿相交流形具有 $R \times S^2$ 的拓扑，由双渐近于中心流形 $S^3$ 的同宿轨道组成。此行为定义了与 $S^3$ 相关的“混沌鞍”，表明柱面的交点具有Cantor集的性质，具有紧支撑 $S^2$，刻画了模型中的混沌。我们讨论朝向反弹的振荡方法及其混沌行为，以及广义相对论BKL猜想中存在的类似特征。