一般性与精细化的 Montgomery 引理

环面 $\mathbb{T}^d$ 上的 Montgomery 引理指出，在量化意义上，$N$ 个 Dirac 质量的求和不可能与许多低频三角函数正交。我们将其推广到一般流形，并允许正权重：设 $(M,g)$ 为无边界的光滑紧致 $d$ 维流形，$(\phi_k)_{k=0}^{\infty}$ 表示 Laplacian 本征函数，设 $\left\{ x_1, \dots, x_N\right\} \subset M$ 为点集，$\left\{a_1, \dots, a_N\right\} \subset \mathbb{R}_{\geq 0}$ 为非负权重序列。则有 $$\sum_{k=0}^{X}{ \left| \sum_{n=1}^{N}{ a_n \phi_k(x_n)} \right|^2} \gtrsim_{(M,g)} \left(\sum_{i=1}^{N}{a_i^2} \right) \frac{ X}{(\log{X})^{\frac{d}{2}}}.$$ 该结果在对数因子范围内是最优的。此外，我们证明了 Montgomery 引理的一个精细化球面版本，并给出其在球面 $\mathbb{S}^{d}$ 上 $N$ 个点的偏差估计和离散能量估计中的应用。