关于流形上 Cassels 与 Montgomery 的一个精确引理

设 $(\mathcal{M},g)$ 为一个 $d$ 维紧连通黎曼流形，并设 $\{\varphi_{m}\}_{m=0}^{+\infty}$ 为 $\mathcal{M}$ 上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的完全标准正交特征函数序列。我们证明存在正常数 $C$，使得对所有整数 $N$ 与 $X$ 以及 $\mathcal{M}$ 中 $N$ 个点的有限序列 $\{x(j)\}_{j=1}^{N}$ 和正权重 $\{a_{j}\}_{j=1}^{N}$，均有 $$\sum_{m=0}^{X} | \sum_{j=1}^{N} a_{j} \varphi_{m} ( x( j) ) | ^{2}\geq \max \{ CX\sum_{j=1}^{N}a_{j}^{2},( \sum_{j=1}^{N}a_{j}) ^{2}\}.$$