质量、保 conformal 容积与体积 Penrose 不等式

设$\Omega$为$\mathbb{R}^3$中光滑、有界且致球形的集合。考虑$M=\mathbb{R}^3\setminus\Omega$，其上配有渐近平坦度量$g=f^4 g_{\text{euc}}$，其中$f在无穷远处趋于1。假设g具有非负标量曲率且$\Sigma=\partial M$为g度量下的最小2球。我们证明了关于M的ADM质量与$\Omega$保 conformal 容积之间的尖锐不等式。作为推论，我们推导出ADM质量相对于$\Omega$的欧几里得体积的尖锐下界。我们也证明了该“体积 Penrose 不等式”的稳定性结果。证明基于沿3-harmonic函数水平集上的单调性公式。