四维Einstein度量的质量与体积

设 $(M^4,\bar{g})$ 为Einstein流形，其中 $M^4$ 是光滑、闭、定向的四维流形，$\bar{g}$ 具有正的Einstein常数。给定一点 $0 \in M^4$，令 $G$ 表示共形Laplacian $L_{\bar{g}}$ 的（正）Green函数；则 $g = G^2 \bar{g}$ 是 $\widehat{M} = M \setminus \{ 0 \}$ 上的完备、无标量曲率、渐近平坦度量。我们首先证明 $g$ 的ADM质量可以表示为 $\widehat{M}$ 上的积分，然后利用该恒等式证明 $g$ 的质量关于 $\bar{g}$ 的体积的下界。作为推论，我们证明了'质量-体积'不等式，以及各种刻画 $S^4$ 上圆度量和 $\mathbb{CP}^2$ 上Fubini-Study度量的质量间隙定理。