Gaussian Mills 比是完全单调的

考虑标准 Gaussian 律对应的 Mills 比 $f(x)=\big(1-\Phi(x)\big)/\phi(x), \, x\ge 0$，其中 $\phi$ 是该律的密度函数，$\Phi$ 是其累积分布函数。我们证明该函数是完全单调的。在证明过程中，我们获得了一串有理函数序列，它们构成了 $f$ 的紧界；结果表明，这些有理函数正是由 $f$ 定义的连分数的渐近分数，并提供了一种近似程序，可用于证明涉及 $f$ 或其导数的有趣性质。作为应用，我们展示了 $1/f$ 是严格凸的。