利用高斯积分对 1/|x| 的一类正则化的研究

本文对一类在 $x$ 较大时近似 $1/|x|$ 但在原点处有限的函数进行了全面研究。这些函数自然产生于强磁场中原子的研究中，其中所谓的“Landau 态”引发了高斯积分。本文还考虑了将 $e^{-x^2}$ 替换为 $e^{-x^p}$ 的推广，这些函数在 $x$ 较大时近似于 $x^{1-p}$。结合近似中出现的参数以及 $x$，讨论了这些函数的极限行为与单调性性质。建立了若干类不等式，其中一些提供了紧的界。给出了这些函数满足的若干微分方程与递推关系。这些递推关系衍生出两类多项式，其中一类与合流超几何函数相关。最后，证明了该近似函数的反函数是凸的，这蕴含了三角不等式的一个类似物。对可能的推广作了评述，并提出了若干开放问题。