形如 $x^2+dy^2$ 的高斯梅森素数

本文研究了高斯环 $\Z[i]$，重点在于将高斯梅森素数 $G_p$ 表示为 $x^2+7y^2$ 的形式。有趣的是，当这种形式存在时，可以观察到 $x\equiv \pm 1\pmod{8}$ 且 $y\equiv 0\pmod{8}$。为了证明高斯梅森素数的这一性质，我们证明了高斯梅森素数在 $\Q(\sqrt{-14})$ 的循环四次非分歧扩张中完全分裂，并且在该扩张中具有平凡的 Artin 符号。我们将此结果推广至 $d\equiv 7\pmod{24}$ 的情形。我们还尝试利用 Artin 互反律给出另一种证明，此前 H. W. Lenstra 和 P. Stevenhagen 曾利用该定律证明了普通梅森素数的类似性质。