GL(2) $L$-函数零点间的间隙

设 $L(s,f)$ 为与 $\mathbb{Q}$ 上 GL(2) 的本原（全纯或 Maass）尖点形式 $f$ 相关联的 $L$-函数。结合 Montgomery 和 Vaughan 的均值估计与 Ramachandra 的方法，我们证明了 $L(1/2+it,f)$ 导数的混合二阶矩公式，并利用 Hall 的方法表明，沿临界线 $L(s,f)$ 的连续零点之间存在无穷多个间隙，其大小至少为平均间距的 $\sqrt 3 = 1.732...$ 倍。利用 Murty 和 Perelli 关于一般配对相关性的结果，并结合 Montgomery 的技术，我们还证明了 Selberg 类中任何本原 $L$-函数的零点间存在小间隙。特别是，当 $f$ 为 $\mathbb{Q}$ 上 GL(2) 的本原全纯尖点形式时，我们证明了沿临界线 $L(s,f)$ 的连续零点之间存在无穷多个间隙，其大小至多为平均间距的 $< 0.823$ 倍。