带隙边界、群上同调与容错逻辑门

本文试图建立物质的拓扑相中带隙边界的分类、玻色对称保护拓扑（SPT）相与量子纠错码中可容错实现的逻辑门之间的联系。我们首先通过利用 $d$-闭上链函数（$d\geq 2$）给出 $d$ 维量子双模型带隙边界的构造。我们指出该系统支持 $m$ 维激发（$m<d$），我们称之为涨落电荷，它们是点状电电荷的叠加，由 $m$ 维玻色 SPT 波函数刻画。存在这样的带隙边界：电荷或磁通本身可能不凝聚，但仅当伴随涨落电荷时才可能凝聚。磁通与余维数 $2$ 的涨落电荷展现出涉及多于两个激发的非平凡多激发编织统计。统计角可通过依次取底层闭上链函数的斜积来计算。我们发现可凝聚为带隙边界的激发可由平凡的多激发编织统计刻画，从而推广了拉格朗日子群的概念。作为一个应用，我们利用 $d$-闭上链函数为 $d$ 维量子双模型构造可容错实现的逻辑门。即，若闭上链函数具有非平凡的斜积序列，则相应逻辑门属于 Clifford 层级的第 $d$ 级，但位于第 $(d-1)$ 级之外。