拓扑色码与对称性保护拓扑相

我们研究了 $d$ 维色码中的 $(d-1)$ 维激发，这些激发通过对量子比特连通子区域横向施加 $R_{d}$ 相位算子而产生。我们发现此类激发是电荷的叠加态，并可通过具有 $(\mathbb{Z}_{2})^{\otimes d}$ 对称性的 $(d-1)$ 维玻色子 SPT 相的不动点波函数来表征。虽然这些 SPT 激发局域在 $(d-1)$ 维边界上，但它们的产生需要作用于边界内所有量子比特的操作，这反映了涌现 SPT 波函数的非平凡性。此外，这些 SPT 激发可以物理实现为交换色码中激发的透明有能隙域壁。即在三维色码中，与横向 $R_{3}$ 算子相关的域壁交换了磁通量与由磁通量和环状 SPT 激发组成的复合体，揭示了高维 TQFT 中边界的丰富可能性。我们还发现，由于 $R_{3}$ 相位算子属于 Clifford 层级的第三级，磁通量与环状 SPT 激发在三维空间中表现出非平凡的三环编织统计。我们相信，本文建立的 SPT 激发、容错逻辑门与有能隙域壁之间的联系，可以推广到一大类拓扑量子码和 TQFT。