从世界线到带/不带振子项的量子超共形力学：$D(2,1;\alpha)$ 与 $sl(2|1)$ 模型

本文对由世界线超多重态定义的超共形 $\sigma$-模型进行量子化。考虑了两类超共形力学，带 DFF 项与不带 DFF 项。不带 DFF 项（仅 Calogero 势）时超对称性无破缺。带 DFF 项的模型对应于形变（若存在 Calogero 势）或未形变振子。对于这些（未）形变振子，经典不变超共形代数充当量子理论的谱生成代数。除 $osp(1|2)$ 例子外，我们显式量子化了由 ${\cal N}=4$ $(1,4,3)$ 超多重态（具有 $D(2,1;\alpha)$ 不变性，其中 $\alpha\neq 0,-1$）定义的超共形不变世界线 $\sigma$-模型，以及由 ${\cal N}=2$ $(2,2,0)$ 超多重态（具有二维靶空间和 $sl(2|1)$ 不变性）定义的模型。参数 $\alpha$ 是 $(1,4,3)$ 超多重态的标度维数，在 DFF 情形下可直接解释为真空能。在 DFF 情形下，对于 $sl(2|1)$ 模型，标度维数 $\lambda$ 是量子化的（要么 $\lambda=\frac{1}{2}+{\mathbb Z}$，要么 $\lambda={\mathbb Z}$）。普通二维振子在施加超选择限制后，可由 $\lambda=-\frac{1}{2}$ 模型恢复。特别地，选出了单一玻色真空。无限制二维理论的谱被分解为 $sl(2|1)$ 的无限个最低权表示。不属于原始 $sl(2|1)$ 超代数的额外费米升算符允许（对于 $\lambda=\frac{1}{2}+{\mathbb Z}$）从两个简并（一个玻色和一个费米）真空构造整个谱。