具有 $sl(2|1)$ 动力学对称的三维超共形量子力学

我们构造了一个具有 $sl(2|1)$ 动力学对称的三维超共形量子力学（及其关联的 de Alfaro-Fubini-Furlan 形变振子）。在耦合参数 $\beta\neq 0$ 时，哈密顿量包含 $\frac{1}{r^2}$ 势与自旋-轨道（因而是个一阶微分算符）相互作用项。在 $\beta=0$ 时，恢复为四份未形变的三维振子。哈密顿量在总角动量 $j$ 与轨道角动量 $l$ 的每一扇区中对角化（系统自旋为 $\frac{1}{2}$）。形变振子的希尔伯特空间由 $sl(2|1)$ 最低权表示的直接和给出。讨论了在给定耦合常数 $\beta$ 值下可容许希尔伯特空间的选择。计算了模型的谱。真空能量（作为 $\beta$ 的函数）由递归之字形模式构成。能本征值的简并度在 $E\sim \beta$ 之前（以适当单位）线性增长，在 $E>\beta$ 时二次增长。正交归一的能量本征态用关联拉盖尔多项式与自旋球谐函数表示。模型到 $d=2$ 的维数约化产生两份（分别对应 $\beta$ 与 $-\beta$）二维 $sl(2|1)$ 形变振子。到 $d=1$ 的维数约化产生一维 $D(2,1;\alpha)$ 形变振子，其中 $\alpha$ 由 $\beta$ 确定。