从Cucker-Smale型动力学集群模型到自组织流体力学模型

我们研究了一类动力学集群模型的流体力学极限问题。我们发展了基于GCI的Hilbert展开方法，并严格建立了从介观尺度下带约束势的动力学Cucker-Smale模型到自驱动个体宏观极限系统的渐近 regime，该宏观系统由Aceves-Sánchez、Bostan、Carrillo和Degond（2019）形式导出。在带碰撞的传统动力学方程（例如Boltzmann型方程）中，连接动力学与流体 regime 的关键性质为：线性化碰撞算子（围绕平衡的线性化碰撞算子）记为$\mathcal{L}$是对称的，且具有非平凡零空间（其元素称为碰撞不变量），其中包含所有流体信息，即Ker($\mathcal{L}$)的维数等于流体变量个数。进而，碰撞不变量与动力学方程的矩给出了宏观方程。本文所考虑相应问题的新特征与困难在于：线性化算子$\mathcal{L}$不对称，即$\mathcal{L}\neq \mathcal{L}^*$，其中$\mathcal{L}^*$为$\mathcal{L}$的对偶。此外，碰撞不变量位于Ker($\mathcal{L}^*$)中，称为广义碰撞不变量（GCI）。这与经典Boltzmann型方程根本不同。这是生命系统中许多自驱动粒子对齐集体运动或许多主动粒子系统的共同特征。另一困难（对主动系统亦属常见）来自方向向量的归一化，其高度非线性。