曲面上向量丛到 Hilbert 概型的 Fourier-Mukai 变换

设 $S$ 是定义在代数闭域 $k$ 上的不可约光滑射影曲面。对于正整数 $d$，令 ${\rm Hilb}^d(S)$ 为参数化 $S$ 上长度为 $d$ 的零维子概型的 Hilbert 概型。对于 $S$ 上的向量丛 $E$，令 ${\mathcal H}(E)\, \longrightarrow\, {\rm Hilb}^d(S)$ 为其 Fourier--Mukai 变换，该变换使用 $S\times {\rm Hilb}^d(S)$ 的泛子概型的结构层作为核构造。我们证明：若向量丛 ${\mathcal H}(E)$ 和 ${\mathcal H}(F)$ 同构，则 $S$ 上的两个向量丛 $E$ 和 $F$ 同构。