具有广义 Holling III 型功能反应的 Leslie 型捕食者-猎物系统中的四个极限环

本文作为 Hsu 等人 [SIAM. J. Appl. Math. 55 (1995)] 和 Huang 等人 [J. Differential Equations 257 (2014)] 工作的补充，旨在研究具有广义 Holling III 型功能反应的 Leslie 型捕食者-猎物模型的 Hopf 分岔与全局动力学，分为两种情况：(A) 具有唯一非退化正平衡；(B) 具有三个不同的正平衡。对每种情况，研究了各平衡点的类型与稳定性、各弱焦点处的 Hopf 分岔，以及第一象限内极限环的个数与分布。结果表明每个平衡点都不是中心。对于情况 (A)，在唯一正平衡点附近可出现 $i$ 个极限环，$i=1, \cdots, 4$。当 $i=3$ 或 $4$ 时，模型有两个稳定极限环，这给出了 Coleman [Differential equations model, 1983] 提出的开放问题的肯定回答：在任何自然（或实验室）捕食者-猎物系统中寻找至少两个生态稳定环。对于情况 (B)，一个正平衡为鞍点，其余两个均为反鞍点。若两个反鞍点之一为弱焦点而另一个不是，则该弱焦点的阶数至多为 $3$。若两个反鞍点均为弱焦点，则它们是阶数为一的不稳定弱焦点。此外，可同时从它们各自分岔出一个极限环。数值模拟表明还存在一个包围这两个极限环的大稳定极限环。我们的结果表明此类模型的极限环最大个数至少为 $4$，改进了先前该个数至少为 $2$ 的结果。