下阶交叉体算子的固定点与周期点

对于星体 K 在 $\mathbb{R}^n$ 中的下阶交叉体算子 $I_iK$，其中 $i\in\{1, 2,\ldots, n-2\}$，我们证明 $I_i^2K = cK$ 当且仅当 $K$ 为原对称球，从而 $I_iK = cK$ 当且仅当 $K$ 为原对称球。结合 Milman、Shabelman 和 Yehudayoff（2025 年发表于 Invent. Math. 的突破性工作（情况 $i = n-1$）后，对 R. Gardner 在 1995 年《几何测绘》第 302 页提出的两个长期存在的问题 8.6 和 8.7 进行适度修改后即得到完全解答。作为应用，我们证明对于球形 Radon 变换 $\mathcal{R}$，若非负 $\rho\in L^{\infty}(\mathcal{S}^{n-1})$ 满足 $\mathcal{R}(\rho^i) = c\rho$（其中 $c>0$），则 $\rho$ 为常数。同时建立了尖锐的 Busemann 交叉类型不等式。