生物入侵的 Fisher-KPP 型模型：开源计算工具、关键概念与分析

本综述提供了开源计算工具，支持一系列数学方法来分析用于研究生物入侵的三个相关标量反应扩散模型。从经典的 Fisher-Kolmogorov（Fisher-KPP）模型开始，我们阐明了如何使用计算方法来探索含时偏微分方程（PDE）的解，并结合相平面和正则摄动技术来探索以无量纲速度 $c \ge 2$ 移动的入侵行波解。为了克服 Fisher-KPP 模型解中缺乏明确定义的锐前沿的问题，我们还回顾了两种替代的建模方法。第一种是 Porous-Fisher 模型，其中线性扩散项被替换为退化非线性扩散项。利用相平面和正则摄动方法，我们探索了以无量纲速度 $c \ge 1/\sqrt{2}$ 移动的锐前沿和光滑前沿入侵行波之间的区别。第二种替代方法是将 Fisher-KPP 模型重新表述为 $0 < x < L(t)$ 上的移动边界问题，从而得到具有锐前沿行波解的 Fisher-Stefan 模型，该解源自具有线性扩散项的 PDE 模型。含时 PDE 解和相平面方法表明，Fisher-Stefan 模型的行波解既能描述生物入侵（$c > 0$），也能描述生物衰退（$c < 0$）。用于复现本综述中所有计算结果的开源 Julia 代码可在 GitHub 上获取；我们鼓励研究人员直接使用此代码，或根据需要对代码进行调整以用于更复杂的模型。