有限间隙条件与经典周期 Benjamin-Ono 方程的小色散渐近

本文在两种互补的退化情形下刻画了经典周期 Benjamin-Ono 方程的 Nazarov-Sklyanin 族：固定色散下的多相初值（周期多孤子）情形，以及有界初值在小色散极限下的情形。首先，我们用一个辅助实变量的分段线性函数来表达该族，我们称之为色散作用剖面，其斜率为 $\pm 1$ 的区域分别称为间隙和能带。我们的表达使用了 Kerov 的剖面理论与 Kre\u{\i}n 的谱移位函数。其次，对于多相初值，我们在 Dobrokhotov-Krichever 与 Nazarov-Sklyanin 中辨识出 Baker-Akhiezer 函数，并证明多相色散作用剖面具有由它们的 Dobrokhotov-Krichever 谱曲线的奇点所决定的有限多个间隙。最后，对于与色散系数无关的有界初值，我们证明在小色散极限下，色散作用剖面弱收敛于一个凸剖面，该凸剖面编码了无色散方程的守恒量。为建立弱极限，我们用谱移位函数重新表述了 Toeplitz 算子的 Szeg\H{o} 第一定理。为说明我们的结果，我们将正弦初值的色散作用剖面与 Nekrasov-Pestun-Shatashvili 所发现的剖面相对应，并将其小色散极限与 Vershik-Kerov 和 Logan-Shepp 所发现的凸剖面相对应。