分数 Zakharov-Kuznetsov 方程的数值方法

本文发展了用于二维周期域上分数 Zakharov-Kuznetsov (fZK) 方程的全离散傅里叶谱 Galerkin (FSG) 方法。该方程通过将拉普拉斯算子替换为阶数为 $\alpha\in(0,2]$ 的分数拉普拉斯算子来推广经典 ZK 模型，从而涵盖经典 ZK 方程 $\alpha=2$、更高维数的 Benjamin-Ono-ZK 方程 $\alpha=1$，以及较弱分散 regime $0<\alpha<1$。我们首先提出了一种在空间上保持质量、动量和哈密顿能离散化的半离散 FSG 方案。利用周期 Kato-Ponce 乘积和 commutator 估计，我们证明了半离散近似在 $C([0,\bar T];L^2_{\mathrm{per}}(\Omega))$ 中的局部时间一致 Sobolev 界限以及强收敛性，用于初始条件在 $H^s_{\mathrm{per}}(\Omega)$，其中 $s\geq 2+\alpha$。此外，我们通过该方法还证明了 fZK 方程在 L^\infty(0,\bar T;H^s_{\mathrm{per}}(\Omega})\cap W^{1,\infty}(0,\bar T;L^2_{\mathrm{per}}(\Omega)) 中的存在性和唯一性。随后，我们引入一种适用于分数传输离散算子的修正投影，证明了其在 $r>2+\alpha$ 时的 optimal 空间误差估计为 $\mathcal O(N^{-r})$，以及解析解的指数收敛。采用将削弱的分散项精确积分的积分因子四阶四阶段 Runge-Kutta 时间离散化方法，并在高正则性非线性稳定性假设下获得四阶时间误差估计。数值实验说明了该方法的精度、分数阶数依赖性以及全离散保守量漂移。