含双边导数的分数阶偏微分方程统一谱方法：一种快速求解器

我们针对一类带有双边导数和常系数的分数阶偏微分方程开发了一种统一 Petrov-Galerkin 谱方法，方程形式为 $_{0}{\mathcal{D}}_{t}^{2\tau}u^{} + \sum_{i=1}^{d}$ $[c_{l_i}$ $_{a_i}{\mathcal{D}}_{x_i}^{2\mu_i} u^{} +c_{r_i}$ $_{x_i}{\mathcal{D}}_{b_i}^{2\mu_i}$ $u^{} ] +$ $\gamma$ $u^{} = \sum_{j=1}^{d} [ \kappa_{l_j}$ $_{a_j}{\mathcal{D}}_{x_j}^{2\nu_j} u^{}$ $+\kappa_{r_j}$ $_{x_j}{\mathcal{D}}_{b_j}^{2\nu_j}$ $u^{} ]$ $+ f$，其中 $2\tau \in (0,2)$，$2\mu_i \in (0,1)$ 且 $2\nu_j \in (1,2)$，定义在 ($1+d$) 维\textit{时空}超立方体（$d = 1, 2, 3, \cdots$）中，受齐次 Dirichlet 初始/边界条件约束。我们采用 \cite{zayernouri2013fractional} 中第一类分数阶 Sturm-Liouville 特征问题的特征函数（称为\textit{Jacobi 多项式分式}）作为时间基函数，并采用第二类边值问题的特征函数作为时间测试函数。接下来，我们利用勒让德多项式构造空间基函数/测试函数，使得质量矩阵独立于空间分数阶（$\mu_i, \, \nu_j, \, i, \,j=1,2,\cdots,d$）。此外，我们基于空间质量矩阵相对于相应刚度矩阵的广义特征问题求解，构建了一种针对所得高维线性系统的新型统一快速线性求解器，从而使问题的复杂度达到最优，即 $\mathcal{O}(N^{d+2})$。我们进行了若干数值测试案例以检验该方法的 CPU 时间和收敛率。Petrov-Galerkin 方法相应的稳定性与误差分析见 \cite{samiee2016Unified2}。