带阻尼和泵效应的非线性热方程的有限元分析

我们研究如下带阻尼和泵效应（即反应扩散方程）的非线性热方程，其在边界光滑的有界简单连通域 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ 上定义，其中 $d \geq 1$： $$\frac{\partial u(t)}{\partial t} - \nu \Delta u(t) + \alpha |u(t)|^{p-2}u(t) - \sum_{\ell=1}^M \beta_{\ell} |u(t)|^{q_{\ell}-2}u(t) = f(t), \quad t>0,$$ 施加齐次 Dirichlet 边界条件和初始条件 $u(0)=u_0$，其中 $2 \leq p < \infty$ 且 $2 \leq q_{\ell} < p$ 对所有 $1 \leq \ell \leq M$ 成立。对于 $u_0 \in L^2(\Omega)$ 且 $f \in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))$，我们在所有维度 $d \in \mathbb{N}$ 和阻尼指数 $2 \leq p < \infty$ 下建立弱解的存在性与唯一性。进一步地，对于 $u_0 \in H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega)$ 且 $f \in H^1(0,T;H^1(\Omega))$，我们得到正则性结果：当 $1 \leq d \leq 4$ 时适用于所有 $2 \leq p < \infty$，当 $d \geq 5$ 时适用于 $2 \leq p \leq \frac{2d-6}{d-4}$。我们进一步采用符合、非符合和无限元方法进行有限元分析，推导了半离散和全离散方案的先验误差估计，并通过数值实验予以验证。为放宽半离散分析中 $p$ 的限制，我们采用合适的投影/插值算子：在符合情形下使用 Ritz 投影（$2 \le p \le \frac{2d}{d-2}$），在 $\frac{2d}{d-2} < p \le \frac{2d-6}{d-4}$ 区间使用 Scott-Zhang 插值，在非符合情形下使用 Clément 插值，在 DG 框架下使用 $L^2$ 投影。在全离散情形下，在 $u_0 \in D(A^{3/2})$ 且 $f \in H^1(0,T;H^1(\Omega))$ 时，误差估计同样适用于上述 $p$ 范围。