极小曲面、极大曲面、类时极小曲面与 Born-Infeld 孤子的有限分解

我们利用 Euler Ramanujan 恒等式证明，Scherk 第二曲面的高度函数可分解为自身缩放与平移版本的有限和。类似结果出现在 R. Kamien 关于液晶的工作中，他（利用 Euler-Ramanujan 恒等式）证明了 Scherk 第一曲面的高度函数可分解为自身缩放与平移版本的有限和。我们给出 Scherk 第一曲面高度函数的另一种有限分解，表示为平移螺旋面与缩放平移的 Scherk 第一曲面。我们给出更多例子，例如（复）极大曲面与（复）BI 孤子。随后，我们利用极小（极大）曲面的 Weierstrass-Enneper 表示证明，可将极小（极大）曲面的高度函数分解为若干曲面高度函数的有限和，这些曲面在坐标变换后实为极小（极大）曲面，各自相对于其新坐标为极小（极大）。接着我们展示极小曲面、极大曲面、类时极小曲面与 Born-Infeld 孤子曲面的一个普遍性质：它们的局部高度函数 $z=Z(x,y)$ 可拆分为同形函数的缩放与平移版本的有限和。在缩放意义下，这些新函数分别是极小曲面、极大曲面、类时极小曲面与 Born-Infeld 孤子曲面的高度函数。最后，我们展示了 ${\mathbb R}^3$ 去掉某些直线后由平移螺旋面（出现于某一 Euler-Ramanujan 恒等式中）构成的叶状结构。