Schwarz 导数与经典极小曲面的次数

利用 Schwarz 导数，我们在欧氏 $3$-空间中每个非平坦定向极小曲面上构造了一列亚纯微分 $\left(P_{\ell}\right)_{\ell \geqslant 2}$。微分 $\left(P_{\ell}\right)_{\ell \geqslant 2}$ 在由 Weierstrass 表示产生的曲面所有形变下保持不变，且仅依赖于诱导度量及其导数。若一个极小曲面的第 $n$ 个微分是低次微分的多项式表达式，则称其具有次数 $n$。我们观察到若干著名极小曲面具有较小次数，包括 Enneper 曲面、螺旋面/悬链面以及 Scherk 曲面和 Schwarz 族。此外，我们证明了在局部且远离脐点处，每个极小曲面均可由一列次数递增的极小曲面逼近。