真嵌入极小曲面的拓扑、几何与共形结构
微分几何
2019-08-19 v1 几何拓扑
摘要
本文发展了理解具有多于一个端（且通常为无穷拓扑）并真极小嵌入于三维欧氏空间中的曲面的新工具。在这样的曲面上，端集构成一个紧 Hausdorff 空间，并自然地按端在空间中的相对高度排序。我们的一个主要结果是曲面的中间端具有二次面积增长，从而不是极限端。这蕴含，例如，该曲面至多有两个极限端（在排序的顶端与底端），这是一个很强的拓扑限制。对此类曲面的渐近几何与共形结构也存在限制：例如，我们证明若曲面恰有两个极限端（如经典的 Riemann 阶梯例子），则它是常返的（即几乎所有布朗路径在曲面中稠密，特别地曲面上任意正调和函数为常数）。这些结果在近期若干理论进展的证明中起到了重要作用，包括螺旋面的唯一性、真浸入极小曲面上坐标函数的通量的不变性，以及真嵌入极小曲面的拓扑分类。
引用
@article{arxiv.math/0401267,
title = {The topology, geometry and conformal structure of properly embedded minimal surfaces},
author = {Pascal Collin and Robert Kusner and William H. Meeks and III and Harold Rosenberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0401267},
year = {2019}
}