Fine-Wilf 图与广义 Fine-Wilf 定理

1962 年，R. C. Lyndon 和 M. P. Shutzenberger 证明，对于任意正整数 r 和 s，任何长度至少为 r+s 且同时具有 r-周期性和 s-周期性的序列，都具有 (r,s)-周期性。不久之后（1965 年），N. J. Fine 和 H. S. Wilf 证明，对于任意正整数 r 和 s，如果 a 是周期为 r 的无限序列，b 是周期为 s 的无限序列，且对于所有满足 1≤i≤r+s-(r,s) 的 i 有 a_i=b_i，则 a=b。这等价于通常称为 Fine-Wilf 定理的以下结果：对于任意正整数 r 和 s，如果 w 是同时具有 r-周期性和 s-周期性的有限序列，且 |w|≥r+s-(r,s)，则 w 具有 (r,s)-周期性。M. G. Castelli、F. Mignosi 和 A. Restivo 将 Fine-Wilf 定理推广到具有三个周期的有限序列，J. Justin 进行了更一般的推广，R. Tijdeman 和 L. Zamboni 则做了更广泛的推广。他们引入了从所有非负整数序列集合到正整数集合的函数 f 和 fw，并证明对于序列 p=(p_1,p_2,...,p_n)，一个具有周期 p_i（i=1,2,...,n）且长度至少为 fw(p) 的有限序列 w 也必然具有 (p)-周期性，并且存在一个长度为 fw(p)-1 的序列 w，它对所有 i 都是 p_i-周期的，但不具有 (p)-周期性。在本文中，我们遵循 S. Constantinescu 和 L. Ilie 引入的思想，得到了 f 和 fw 的另一种表述，并建立了 f 和 fw 的重要性质，特别是得到了它们各自的新上下界。我们还开始了对任意有限序列的 Fine-Wilf 图的研究。