关于 Steinhaus 的一个问题

设 $N$ 为正整数。若单位区间 $[0,1)$ 中的点列 $X=(x_1,x_2,\ldots,x_N)$ 满足：对每个 $n=1,2,\ldots, N$ 及每个 $i=0,1,\ldots,n-1$，均有 $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\cap \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n} \right) \neq\emptyset$，则称其为刺穿序列。1958 年，Steinhaus 提问刺穿序列是否可以任意长。Schinzel 给出了否定回答，他证明任何此类序列最多有 $74$ 个元素。后来，Warmus 以及独立地由 Berlekamp 和 Graham 将其改进至最佳可能值 $17$。本文研究刺穿序列的一个更一般变体。设 $f(n)\geq n$ 为一个无限非降的正整数序列。若对每个 $n=1,2,\ldots, N$ 及每个 $i=0,1,\ldots,n-1$，均有 $\{x_1,x_2,\ldots,x_{f(n)}\}\cap \left[\frac{i}{n},\frac{i+1}{n} \right) \neq\emptyset$，则称序列 $X=(x_1,x_2,\ldots,x_{f(N)})$ 为 $f$-刺穿的。Berlekamp 和 Graham 研究了 $f(n)=n+d$ 的特例，其中 $d$ 为固定非负整数。他们注意到，对每个 $d\geq 0$，任何 $(n+d)$-刺穿序列的最大长度都是有限的。将此最大长度表示为 $s(d)+d$，他们得到了函数 $s(d)$ 的指数上界，后来 Graham 和 Levy 将其改进为 $s(d)=O(d^3)$。最近，Konyagin 证明了对所有充分大的 $d$，有 $2d\leqslant s(d)< 200d$ 成立。利用基于 Farey 分数和折棍博弈的不同技术，我们在此证明函数 $s(d)$ 满足 $\left\lfloor{}c_1d\right\rfloor{}\leqslant s(d)\leqslant c_2d+o(d)$，其中 $c_1=\frac{\ln 2}{1-\ln 2}\approx2.25$ 且 $c_2=\frac{1+\ln2}{1-\ln2}\approx5.52$。我们还证明，存在一个无限的 $f$-刺穿序列且 $f(n)= \gamma n+o(n)$ 当且仅当 $\gamma\geq\frac{1}{\ln 2}\approx 1.44$。