关于有限循环群中 Molluzzo 提出的 Steinhaus 三角形问题

设 $X$ 为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中长度为 $m\geq 1$ 的有限序列。$X$ 的\textit{导出序列} $\partial X$ 是通过将 $X$ 中连续项两两相加得到的长度为 $m-1$ 的序列。$X$ 的迭代导出序列的集合（直到长度为 1）确定了一个三角形，即由序列 $X$ 生成的\textit{Steinhaus 三角形 $\Delta X$}。若 $X$ 的 Steinhaus 三角形 $\Delta X$ 以相同的重数包含 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中的每个元素，则称 $X$ 为\textit{平衡的}。$m$ 成为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中平衡序列长度的一个明显必要条件是 $n$ 整除二项式系数 $\binom{m+1}{2}$。确定该关于 $m$ 的条件是否也是充分的，是一个未决问题。该问题由 Hugo Steinhaus 于 1963 年针对 $n=2$ 提出，并由 John C. Molluzzo 于 1976 年推广至 $n\geq3$。迄今为止，仅 $n=2$ 的情况由 Heiko Harborth 于 1972 年解决。在本文中，我们对所有 $k\geq 1$ 的 $n=3^k$ 情况给出了 Molluzzo 问题的肯定回答。此外，对于每个奇数 $n\geq 3$，我们构造了 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中的无穷多个平衡序列。这是通过分析由等差数列生成的 Steinhaus 三角形实现的。相比之下，对于任何偶数 $n\geq 4$，目前尚不清楚 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中是否存在无穷多个平衡序列。至于等差数列，对于偶数 $n$，我们证明它们从不平衡，除了在 $n=2$ 和 $n=6$ 处恰好发生的 8 种情况。