$\mathbb{Z}_m^n$ 上的 Ducci 序列及 $n$ 为奇数时的最大长度

定义 Ducci 函数 $D: \mathbb{Z}_m^n \to \mathbb{Z}_m^n$ 使得 $$D(x_1,x_2, ...,x_n)=(x_1+x_2 \;\text{mod} \; m, x_2+x_3 \; \text{mod} \; m, ..., x_n+x_1 \; \text{mod} \; m).$$ 称 $\{D^{\alpha}(\mathbf{u})\}_{\alpha=0}^{\infty}$ 为 $\mathbf{u}$ 的 Ducci 序列。由于 $\mathbb{Z}_m^n$ 是有限的，每个 Ducci 序列最终都会进入一个循环。在本文中，我们将证明如果 $n$ 为奇数且 $m=2^lm_1$（其中 $m_1$ 为奇数），则 Ducci 序列进入其循环所需的最长迭代次数为 $l$ 次。此外，我们将证明 $\mathbb{Z}_m^n$ 中循环内所有元组的集合为 $\{(x_1, x_2, ..., x_n) \in \mathbb{Z}_m^n \; \mid \; x_1+x_2+ \cdots +x_n \equiv 0 \; \text{mod} \; 2^l\}$。