完全图分解为任意长度圈的分解

我们证明，$n$ 个顶点的完全图能被分解为 $t$ 个指定长度为 $m_1,\ldots,m_t$ 的圈，当且仅当 $n$ 为奇数，对于 $i=1,\ldots,t$ 有 $3\leq m_i\leq n$，且 $m_1+\cdots+m_t=\binom n2$。我们还证明，$n$ 个顶点的完全图能被分解为一个完美匹配和 $t$ 个指定长度为 $m_1,\ldots,m_t$ 的圈，当且仅当 $n$ 为偶数，对于 $i=1,\ldots,t$ 有 $3\leq m_i\leq n$，且 $m_1+\ldots+m_t=\binom n2-\frac n2$。