关于 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的 $H$-闭 Ducci 序列的研究

设 $D$ 是 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的一个内同构，使得 $$D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \mod m, x_2+x_3 \mod m, ..., x_n+x_1 \mod m).$$ 我们将序列 $\{D^{\alpha}(\mathbf{u})\}_{\alpha=0}^{\infty}$ 称为 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$ 的 Ducci 序列，该序列必然进入一个循环。现在设 $H$ 是 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的另一个内同构，使得 $$H(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_2, x_3, ..., x_n, x_1).$$ 本文将讨论当 $\mathbf{u}$ 和 $H^{\beta}(\mathbf{u})$ 具有相同的 Ducci 循环（其中 $\beta > 0$）的若干情形，同时证明若干 $n, m$ 的情况，保证对每个 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$ 都成立。