$\mathbb{Z}_m^3$ 上的 Ducci 序列与最大周期

设 $D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \;\text{mod} \; m, x_2+x_3 \; \text{mod} \; m, ..., x_n+x_1 \; \text{mod} \; m)$，其中 $D \in End(\mathbb{Z}_m^n)$ 为 Ducci 函数。序列 $\{D^k(\mathbf{u})\}_{k=0}^{\infty}$ 最终将进入一个循环。若 $n=3$，我们的目标是确定对于给定的 $m$，循环的最大可能长度。