序列在 $\mathbb{Z}_m^n$ 上的 Ducci 周期的值

设 $D: \mathbb{Z}_m^n \to \mathbb{Z}_m^n$ 定义为\n\n$$D(x_1, x_2, ..., x_n)=(x_1+x_2 \; \text{mod} \; m, x_2+x_3 \; \text{mod} \; m, ..., x_n+x_1 \; \text{mod} \; m).$$\n\n我们称 $D$ 为 Ducci 函数，将序列 $\{D^{\alpha}(\mathbf{u})\}_{\alpha=0}^{\infty}$ 为 $\mathbf{u}$ 的 Ducci 序列，其中 $\mathbf{u} \in \mathbb{Z}_m^n$。每个 Ducci 序列最终都会进入循环，因此我们可以设 $\text{Per}(\mathbf{u})$ 为 $\mathbf{u}$ 的 Ducci 循环中的元组数，或 $\mathbf{u}$ 的周期。在本文中，我们将考察 $\text{Per}(\mathbf{u})$ 可能具有的不同值，以及一些条件，当 $\mathbf{u}$ 满足这些条件之一时，$\mathbf{u}$ 将生成小于最大周期的周期。