可数维线性映射的局部有限环

设 n 为正整数。一个 n-环的线性映射是指线性映射的 n-元组 (u_1,…,u_n)，其中 u_1 ∈ Hom(U_1,U_2), u_2 ∈ Hom(U_2,U_3), …, u_n ∈ Hom(U_n,U_1)，U_1,…,U_n 为域上的向量空间。当空间 U_1,…,U_n 具有可数维且复合映射 u_n∘u_{n−1}∘⋯∘u_1 为局部有限时，我们在等价意义下对这类环进行分类。当 n=1 时，该问题等价于对可数维向量空间的约化局部幂零自同态按相似分类，已知解涉及所谓的 u 的 Kaplansky 不变量。此处，我们将 Kaplansky 的结果推广到任意长度的环。作为一个应用，我们证明若 u_n∘⋯∘u_1 为局部幂零且 U_i 空间具有可数维，则分别存在 U_1,…,U_n 的基 B_1,…,B_n，使得对每个 i ∈ {1,…,n}，u_i 将 B_i 中的每个向量映到 B_{i+1} 中的一个向量或 U_{i+1} 的零向量 (约定 U_{n+1}=U_1 且 B_{n+1}=B_1)。