可数维向量空间上两个二次自同态的和与积

设 $V$ 为域上可数维向量空间，$u$ 为其一个局部有限自同态，即对所有 $x\in V$，序列 $(u^k(x))_{k \geq 0}$ 线性相关。我们给出 $u$ 可分解为两个平方零自同态之和的若干充要条件。此外，若 $u$ 可逆，我们给出 $u$ 可分解为两个对合之积的充要条件，以及 $u$ 可分解为两个指数为 $2$ 的幂幺自同态之积的充要条件。我们的结果本质上推广了有限维情形下的已知结论。特别地，我们得到：域上任意严格上三角无穷矩阵均可写为两个平方零无穷矩阵（虽可能非三角）之和；域上对角元全为 $\pm 1$ 的任意上三角无穷矩阵均为两个对合无穷矩阵之积。