非负向量对非负 $2\times2$ 矩阵的无穷乘积

给定非负 $2\times 2$ 矩阵的有限集合 $\{M_0,\dots,M_{d-1}\}$ 与非负列向量 $V$，我们对每个 $(\omega_n)\in\{0,\dots,d-1\}^\mathbb N$ 关联列向量序列 $\displaystyle{M_{\omega_1}\dots M_{\omega_n}V\over\Vert M_{\omega_1}\dots M_{\omega_n}V\Vert}$。我们给出了矩阵 $M_k$ 与向量 $V$ 使得该序列对所有满足 $\forall n,\ M_{\omega_1}\dots M_{\omega_n}V\ne\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ 的 $(\omega_n)\in\{0,\dots,d-1\}^\mathbb N$ 收敛的充分必要条件。