论可在正矩阵锥中实现的向量构型

设 $v_1$,..., $v_n$ 为内积空间中的 $n$ 个向量。我们能否找到一个自然数 $d$ 以及大小为 $d \times d$ 的正（半定）复矩阵 $A_1$,..., $A_n$，使得对所有 $k,l=1,..., n$ 都满足 ${\rm Tr}(A_kA_l)= <v_k, v_l>$？要使这样的矩阵存在，必须对所有 $k,l=1,..., n$ 满足 $<v_k, v_l> \geq 0$。我们证明了，如果 $n<5$，那么这个平凡必要条件也是充分条件，并找到了一个恰当的例子表明从 $n=5$ 起情况并非如此——即使我们允许在具有忠实正规迹状态的冯·诺伊曼代数中由正算子来实现。第一个此类例子出现在 $n=5$ 的事实，类似于在已被充分研究的正（半定）矩阵正分解问题中所呈现的情况。如果矩阵 $(<v_k, v_l>)$ 具有正分解，那么上述矩阵 $A_1$,..., $A_n$ 存在。然而，正如我们通过借助Clifford代数构造的一大类例子所展示的那样，其逆命题并不成立。