构建具有规定尺寸和可逆子矩阵数量的矩阵

给定一个正整数有序三元组 $(n,r,b)$，其中 $1\leq b\leq\binom{n}{r}$，是否存在一个大小为 $r\times n$ 且恰好包含 $b$ 个大小为 $r\times r$ 的可逆子矩阵的矩阵？这样的矩阵被称为 $(n,r,b)$-矩阵。这个问题是 Dominic Welsh 提出的拟阵理论中一个开放问题的更强版本。在本文中，我们证明了当余秩满足 $n-r\leq3$ 时，除非 $(n,r,b)=(6,3,11)$，否则 $(n,r,b)$-矩阵存在。此外，我们展示了当秩 $r$ 相对于余秩 $n-r$ 较大时，$(n,r,b)$-矩阵也存在。