Pascal 矩阵子矩阵的可逆性与 Birkhoff 插值

无限上三角 Pascal 矩阵为 $T = [\binom{j}{i}]$，其中 $0\leq i,j$。容易看出，任何前导主子方阵都是三角矩阵且行列式为 $1$，因此是可逆的。在本文中，我们研究了由 $T$ 的行 $r=[r_0,\ldots,r_m]$ 和列 $c=[c_0,\ldots,c_m]$ 组成的任意方阵子矩阵 $T_{r,c}$ 的可逆性。我们证明，$T_{r,c}$ 可逆当且仅当 $r \leq c$（即对于 $i=0, \ldots, m$，有 $r_i \leq c_i$），或者等价地，当且仅当所有对角线元素非零。为了证明这一结果，我们建立了这些子矩阵的可逆性与多项式插值之间的联系。特别是，我们应用了 Birkhoff 插值和 \polya{} 系统的理论。