由 $\mathbb{Z}_q$ 伪随机子集导出的序列的均衡性与模式分布

设$q$为正整数，$\mathcal{S}=\left\{x_0,x_1,\ldots,x_{T-1}\right\}\subseteq\mathbb{Z}_q=\{0,1,\ldots,q-1\}$且$$0\leq x_0<x_1<\ldots< x_{T-1}\leq q-1.$$我们从$\mathcal{S}$导出三个（有限）序列。1. 对整数$M\geq 2$，令$(s_n)$为$M$进制序列，定义为\begin{eqnarray*} s_n\equiv x_{n+1}-x_n \bmod M, \qquad n=0,1,\ldots, T-2. \end{eqnarray*} 2. 对整数$m\geq 2$，令$(t_n)$为二元序列，定义为\begin{eqnarray*} t_n=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \hbox{if } 1\leq x_{n+1}-x_n\leq m-1, \\ 0, & \hbox{otherwise}, \end{array}\right. \qquad n=0,1,\ldots, T-2. \end{eqnarray*} 3. 令$(u_n)$为$\mathcal{S}$的特征序列，\begin{eqnarray*} u_n=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \hbox{if } n\in \mathcal{S}, \\ 0, & \hbox{otherwise}, \end{array}\right. \qquad n=0,1,\ldots, q-1. \end{eqnarray*} 我们研究序列$(s_n)$、$(t_n)$和$(u_n)$的均衡性与模式分布。对于具有理想伪随机性质的集合$\mathcal{S}$，更确切地说，具有低相关测度的集合，我们证明如下：1. 若$T$的量级小于$q$，则序列$(s_n)$（渐近）均衡且具有均匀模式分布。2. 若$T$约等于$\left(1-\frac{1}{2^{1/(m-1)}}\right)q$，则序列$(t_n)$均衡且具有均匀模式分布。3. 若$T$约等于$\frac{q}{2}$，则序列$(u_n)$均衡且具有均匀模式分布。这些结果受早期关于模素数的二次剩余与原根集合结果的启发。我们统一了这些结果，并从伪随机子集导出了许多具有均匀模式分布的（渐近）均衡序列。