由随机差分方程定义的序列极值向 I 型分布的收敛

我们研究由递推关系 $R_n=M_nR_{n-1}+q$, $n\ge1$ 定义的随机变量序列 $(R_n)$ 的极值，其中 $R_0$ 任意，$(M_n)$ 是非退化随机变量 $M$ 的独立同分布副本，$0\le M\le1$，且 $q>0$ 为常数。我们证明，在关于 $M$ 的温和且自然的条件下，$(R_n)$ 的适当归一化极值依分布收敛于一个双指数随机变量。这部分补充了 de Haan、Resnick、Rootzén 和 de Vries 的结果，他们曾在假设 $\P(M>1)>0$ 下考虑序列 $(R_n)$ 的极值。