生成模奇数平衡 Steinhaus 图形的通用整数序列

本文部分解决了 J.C. Molluzzo 于 1976 年提出的一个关于模正整数 $n$ 的平衡 Steinhaus 三角形存在性的开放问题，即包含 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中所有元素且具有相同重数的 Steinhaus 三角形。对于每个奇数 $n$，我们通过生成模 $n$ 的 Pascal 三角形的线性元胞自动机，在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中构建了一个轨道，该轨道包含无穷多个平衡 Steinhaus 三角形。这个 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中的轨道是从一个称为通用序列的整数序列获得的。我们证明，当 $n$ 是奇素数幂时，至少对于 $2/3$ 的允许尺寸，存在平衡 Steinhaus 三角形。其他平衡 Steinhaus 图形，例如 Steinhaus 梯形、广义 Pascal 三角形、Pascal 梯形或菱形，也出现在模奇数 $n$ 的通用序列的轨道中。我们证明了当 $n$ 是奇素数幂时，至少对于 $2/3$ 的允许尺寸，存在平衡广义 Pascal 三角形；并且当 $n$ 是无平方因子的奇数时，对于所有允许尺寸，存在平衡菱形。