连续时间 ARMA(1,1) 高斯信道的反馈容量

我们考虑连续时间 ARMA(1,1) 高斯信道并推导其反馈容量的闭式表达。更具体地，信道由 $\boldsymbol{y}(t) =\boldsymbol{x}(t) +\boldsymbol{z}(t)$ 给出，其中信道输入 $\{\boldsymbol{x}(t) \}$ 满足平均功率约束 $P$，噪声 $\{\boldsymbol{z}(t)\}$ 是满足 $$\boldsymbol{z}^\prime(t)+\kappa \boldsymbol{z}(t)=(\kappa+\lambda)\boldsymbol{w}(t)+\boldsymbol{w}^\prime(t),$$ 的一阶{\em 自回归滑动平均}（ARMA(1,1)）高斯过程，其中 $\kappa>0,~\lambda\in\mathbb{R}$，且 $\{\boldsymbol{w}(t) \}$ 是单位双边谱密度的白高斯过程。我们证明该信道的反馈容量当 $-2\kappa<\lambda<0$ 时等于方程 $$P(x+\kappa)^2 = 2x(x+\vert \kappa+\lambda\vert)^2$$ 的唯一正根，否则等于 $P/2$。除其他外，该结果表明，与离散时间加性高斯信道不同，即使噪声过程是有色的，反馈也可能不会增加连续时间加性高斯信道的容量。该公式使我们能对此类信道的反馈对容量的影响进行透彻分析。我们刻画了反馈容量等于或非反馈容量两倍的情形；此外，我们反驳了离散时间加性高斯信道的半比特界与 Cover 的 $2P$ 猜想的连续时间类比。