一阶滑动平均高斯信道的反馈容量

除噪声为白噪声的情形外,平稳高斯加性噪声信道的反馈容量一直未解。本文以闭合形式求出了平稳一阶滑动平均加性高斯噪声信道的反馈容量。具体而言,该信道由 $Y_i = X_i + Z_i,$ $i = 1, 2, ...,$ 给出,其中输入 $\{X_i\}$ 满足功率约束,噪声 $\{Z_i\}$ 是由 $Z_i = \alpha U_{i-1} + U_i,$ $|\alpha| \le 1,$ 定义的一阶滑动平均高斯过程,其新息 $U_i,$ $i = 0,1,....$ 为白高斯过程。我们证明该信道的反馈容量为 $-\log x_0$,其中 $x_0$ 是方程 $\rho x^2 = (1-x^2) (1 - |\alpha|x)^2$ 的唯一正根,$\rho$ 为每次传输的平均输入功率与噪声新息 $U_i$ 方差之比。最优编码方案类似于 Schalkwijk 和 Kailath 针对加性白高斯噪声信道提出的简单线性信令方案——发送端在通信开始时发送一个实值信息承载信号,随后通过线性平稳一阶自回归滤波器处理反馈噪声信号来精炼接收端的误差。最大似然译码所得的误差概率随通信时长呈双指数衰减。该一阶滑动平均高斯信道的反馈容量在形式上与 Butman、Wolfowitz 和 Tiernan 所研究的一阶自回归高斯噪声信道已知最佳可达速率非常相似,尽管后者的 optimality 尚待确立。