关于含记忆高斯信道线性反馈编码方案的脆弱速率

在 \cite{butman1976} 中应用了线性编码方案，$X_t =g_t\Big(\Theta - {\bf E}\Big\{\Theta\Big|Y^{t-1}, V_0=v_0\Big\}\Big)$，$t=2,\ldots,n$，$X_1=g_1\Theta$，其中 $\Theta: \Omega \to {\mathbb R}$ 为高斯随机变量，以推导加性高斯噪声（AGN）信道 $Y_t=X_t+V_t, t=1, \ldots, n$ 的反馈速率下界，其中 $V_t$ 为高斯自回归（AR）噪声，$\kappa \in [0,\infty)$ 为总发射功率。对于单位记忆 AR 噪声，参数为 $(c, K_W)$，其中 $c\in [-1,1]$ 为极点，$K_W$ 为高斯噪声方差，下界为 $C^{L,B} =\frac{1}{2} \log \chi^2$，其中 $\chi =\lim_{n\longrightarrow \infty} \chi_n$ 为 $\chi^2=1+\Big(1+ \frac{|c|}{\chi}\Big)^2 \frac{\kappa}{K_W}$ 的正根，序列 $\chi_n \triangleq \Big|\frac{g_n}{g_{n-1}}\Big|, n=2, 3, \ldots,$ 满足某递推关系，并猜想 $C^{L,B}$ 为反馈容量。在本通信中，观察到非平凡下界 $C^{L,B}=\frac{1}{2} \log \chi^2$ 且 $\chi >1$，必然意味着反馈码的缩放系数 $g_n$，$n=1,2, \ldots$，无界增长，即 $\lim_{n\longrightarrow\infty}|g_n| =+\infty$。$g_n$ 的无界行为由实数列的比值极限定理得出，并通过仿真验证。然后得出结论：此类线性码不实用，且对于信道数学模型统计与信道真实统计之间失配是脆弱的。特别地，若误差被 $\epsilon_n>0$ 扰动无论多小，则 $X_n =g_t\Big(\Theta - {\bf E}\Big\{\Theta\Big|Y^{t-1}, V_0=v_0\Big\}\Big)+g_n \epsilon_n$，且 $|g_n|\epsilon_n \longrightarrow \infty$，当 $n \longrightarrow \infty$。