A_n 奇点的族 Floer SYZ 猜想

我们通过在分别与 $A_n$-光滑化的 Kahler 几何和 $A_n$-解消的 Berkovich 几何相关的两个奇异环面纤维化之间建立量子修正的 T-对偶，解决了 $A_n$ 奇点的一个数学精确的 SYZ 猜想。我们的方法涉及大量计算，体现了单位分解的非阿基米德版本，并证实了如下策略：拼合已验证的局部奇点模型使全局 SYZ 猜想解（如 K3 曲面）触手可及。关于奇异纤维碰撞与辫群作用，也存在极为明确的额外证据。一方面，我们应对了 Joyce 所确定的匹配 SYZ 奇异轨迹这一核心挑战。实际上，我们构造的并非孤立的 SYZ 镜像纤维化伙伴，而是一个依赖于参数的伙伴，其始终保持匹配的奇异轨迹及积分仿射结构，即便在奇异纤维发生碰撞时亦然。另一方面，无论参数如何选取，我们的 SYZ 结果惊人地显示出：在 $A_n$-光滑化中作为湮灭循环出现的 Lagrangian 球面的 $(A_n)$-构型，与 $A_n$-解消中有理 $(-2)$-曲线的例外轨迹之间，存在可见的联系。这与约 20 年前 Khovanov、Seidel 和 Thomas 在看似相距甚远的领域中作出的著名工作高度吻合，为 Abouzaid 和 Fukaya 所探索的族 Floer 函子方法提供了几何证据。有趣的是，这些发现利用了通过顺序统计得到的某些明确实现。